여러분 수학시간에 삼각함수 공부하면 피타고라스 정리 다들 아실겁니다.

피타고라스는 기원전 500년경 고대 그리스의 철학자이자 수학자 이고 피타고라스학파를 창시한 유명한 분이시죠

물론 수학과 음악은 고대 그리스 이전의 이집트문명과 바빌로니아에서도 발달했으니 그 영향도 받았겠구요   

그런데 피타고라스가 서양음계를 만들었다는 사실을 아시나요?

피타고라스가 하루는 대장간을 지나가다가 두 개의 망치소리가 서로 조화를 이루는 것을 발견하고

망치의 무게와 길이를 조사해보니 2:3의 비율을 이루는 것을 발견했습니다.

비슷하게 현의길이를 2/3로 줄이고 줄을 튕겨보니 같은 주파수가 나오는 것을 발견했죠

이 어울리는 주파수가 바로 완전5도 “솔” 입니다.

그전부터 왜 완전이란 말이 붙었는가 의아하게 생각했는데 의문이 풀리더군요

원래 줄의 길이로 튕킨 주파수 "도"와  2/3로 줄인 줄로 튕긴 주파수 "솔"이 서로 완벽히 조화를 이룹니다.

즉 듣기가 좋다는 말입니다

피타고라스가 발견한 2:3의 비율은 황금비율로 피타고라스학파의 상징인 5각형 별로 표현됩니다.

5각형의 변의 길이와 대각선의 길이 교차점의 길이가 정확히 2:3이 됩니다.

줄의 길이를 반으로 줄이고 줄을 튕기면 1옥타브 높은 도가 나오죠 즉 주파수가 두배가 됩니다.

이것을 옥타브라고하고 Octa는 그리스어로 8이라는 숫자입니다.

2배 차이가나는 주파수 사이를 어떻게 8개음으로 나누었는지를 살펴보겠습니다.

높은 도에서 아래로 내려가면 “파”와 “도”가 또 완전5도를 이루고 조화를 이룹니다.

아래도에서 계산하면 "도"와 "파"는 완전4도를 이루고 줄의 길이는 3/4이 되죠

이렇게 찾은 음이 바로 주요3화음 “도” “파” “솔”입니다.

솔의 줄 길이 2/3에 다시 2/3을 해주면 4/9가 되는데 줄이 1/2보다 짧아져서 옥타브를 넘어가니까

다시 2를 곱해주면 8/9의 줄의 길이가 되고 “레”음이 됩니다.

8/9의 길이에 다시 2/3을 해주면 16/27의 줄의 길이가 되고 “라” 음입니다.

16/27의 길이에 다시 2/3을 하면 32/81이 되는데 줄의 길이가 다시 1/2보다 짧아져 옥타브를 넘게 되고

옥타브 안으로 넣기위해 2를 곱하면 줄의 길이가 64/81이 되고 “미” 음이 됩니다.

미음의 줄의 길이 64/81에 다시 2/3을 하면 128/243의 줄의 길이가 되고 “시” 음이 납니다.

이렇게 해서 완성된 음계를 피타고라스 음계라고하고

“도 레 미 파 솔 라 시 도”가 갖추어지게 됩니다. 사실 2500년된 음계죠~~^^.

피타고라스 음계로 노래를 하면 완벽히 어울리는 노래가 됩니다.

하지만 피타고라스 음계는 현대의 음계와는 약간의 차이가 있습니다.

피타고라스 음계의 줄의 길이의 비율을 살펴보면

 (도) 8/9 (레) 8/9 (미) 128/243 (파) 8/9 (솔) 8/9 (라) 8/9 (시) 128/243 (도) 이고

각 온음과의 간격이 8/9 배로 증가하는데 반음인 미-파와 시-도 사이가 128/243 이 되어 정확히 절반이 안됩니다.

8/9의 절반은 0.4444 이고 128/243은 0.5267입니다. 즉 절반을 넘게되고 이조 전조가 힘들어지게 됩니다.

이 문제를 해결하기 위해 평균율이라는 개념이 나오는데 1옥파브를 반음으로 정확히 12등분한 것입니다.

피타고라스 음계와는 앞뒤로  약간의 오차는 있지만 그럭저럭 쓸만한 음계가 나오게 됩니다.

무엇보다도 이조 전조의 12 key의 화성학이 완성되고

이것이 현재 우리가 사용하고 있는 음계입니다.