트럼펫은 배음 악기라고 하죠. 밸브 3개의 조합으로 모든 반음 스케일을 낼수 있어서 처음엔 신기했는데 공부를 해보니 참 과학적이라는 생각이 듭니다. 트럼펫에서의 음의 원리를 간단히 설명해보겠습니다.

트럼펫, 섹소폰 등은 한쪽관이 막힌 튜브이고 플륫은 양쪽이 오픈된 튜브입니다. 관내에서의 공기는 고유한 진동수를 갖는데
입술과 마우스피스로 가진(excite) 즉 공기에 충격을 주면
관내의 압력 변화에 반응하여 공기가 고유진동수에서 진동을 하고 제자리에서 진동하는 음파 즉 정현파(standing wave)가 발생합니다. 
이것이 우리가 듣는 공명된 음 입니다.

트럼펫 같은  한쪽이 막힌 관의 배음의 대략적인 공식은

f = v*n/(4L) 입니다.
f : 진동수
v: 공기의 음속 (상온에서 344 m/sec)
n: 1, 3, 5, 7, 9, ....  (홀수로 올라감)
L: 관의 길이

위 그림은 한쪽관이 막힌 직경이 일정한 튜브의 세번째 배음까지의 정현파를 보여줍니다.
밸브를 안누른 open 상태에서 트럼펫 관의 길이는 대략 140cm 이니까 한번 계산해보세요. 트럼펫 관내에서 입술 진동에 의해 공기가 진동하면 사인파(교류)가 형성되고 입술에서 가장 압력이 높고 벨끝에서는 대기압과 같아서 가장 낮습니다. 그리고 사인파의 특성상 최고점(antinode)과 최저점(node)이 생깁니다. 이 특성을 적용하면 짝수는 상쇄되고 홀수 배음만 남습니다. 퓰룻의 경우는 양쪽이 오픈되어 모든 배음이 다 형성되어 음이 조밀해지죠.

공기가 진동하여 음파가 진행하다가 벨끝을 만나면 더 진행하지 않고 되돌아오는데 동일한 파형이 다시 입술까지 전달됩니다. 이것을 정현파(standing wave) 라고 하고 이때 이 압력의 파동은 되돌아오면서 관의 진동수와 압력의 정보를 입술에 전달하고 입술이 트럼펫관의 진동수로 떨리도록 도와줍니다. 즉 입술의 고유진동수와 관의 고유진동수가 동기화(synchronize)됩니다. 이것을 다른말로 피드백(feedback)이라 하고 가벼운 트럼펫이 대개 피드백이 좋아 고음에서 소리를 잘 전달할 수 있습니다. 재즈 리드 트럼펫터가 가벼운 트럼펫을 사용하는 이유입니다.

입술도 고유진동수가 있고 음의 원천을 만들어 내는 매우 중요한 부분이죠. 하지만 워낙 복잡하고 비선형이어서 정확한 모델은 아직 밝혀지지 않았습니다. 하지만 입술진동은 3차원으로 진동하고 높은 진동수를 만들어 내기 위해서는 입술의 고유진동수도 높아져야 하므로 엠보셔와 텐션이 조절되어야 한다고 알려져 있습니다. 이 부분은 워낙 복잡해서 나중에 따로 정리 하겠습니다.

그런데 관의 직경이 일정한 이상적인 튜브에서의 위의 공식의 배음간격은 음계와 잘 맞지 않고 소리도 크지 않습니다.
그래서  배음간격을 음계에 맞게 조절하고 고음에서 소리를 증폭하기 위해서
트럼펫에서는 마우스피스, 리드파이프, 벨을 달아 이 문제를 해결하죠. monette, taylor등 트럼펫 장인들은 이것들의 조합을 잘 활용해서 음정이 잘 맞고 소리도 오묘한 트럼펫을 만들어 내죠. 즉 트럼펫의 성능을 결정하는것이 금속의 재질과 관의 두께(무게)도 있지만 리드파이프와 벨입니다. 리드파이프의 형태와 벨 플레어의 꺽인 각도 크기등이 소리에 영향을 줍니다. ㅎ 

위 그림에서 (a)는 직경이 일정한 튜브의 배음 이고 (d)는  Bb 트럼펫의 배음을 나타냅니다. 두 튜브는 관의 길이는 동일하지만 트럼펫 관에서는 배음의 위치가 음계에 맞게 조정되어 있고 고음에서의 배음의 크기가 증폭된걸 알 수 있습니다.

첫번째 배음은 페달톤으로 사용되지 않고 두번째 배음부터 사용되는데 두번째 배음의 진동수가 220Hz 이고 1옥도 C음 입니다. 네번째 배음이 440Hz 이고 튜닝하는 2옥도 이고 8번째 배음이 3옥도로 880Hz 입니다. 모두 2배씩 진동수가 증가하지요 ㅎ 즉 3옥도는 입술이 1초에 880번 떨려야 됩니다. 진동 이론에 의하면 같은 음폭으로 소리를 낼때 투입되는 에너지는 진동수의 제곱에 비례하니까 3옥도를 1옥도와 같은 음폭으로 내려면 16배의 에너지가 필요합니다~~^^ 4옥도는 제곱하면 8X8=64배의 힘이 필요합니다. 그리고 3옥미부터는 배음의 크기가 현격하게 줄어서 즉 음향학적 임피던스가 현격하게 줄어서 소리내기가 무척 힘듭니다. 

밸브와 배음관계를 설명해보겠습니다.  초기의 트럼펫은 bugle이라해서 밸브가 없는 단순한 형태였고 단순한 7개 배음 정보 밖에 사용할 수 없었습니다. 그후 트럼펫이 연주에 사용되면서 클라리넷 형태로 관에 구멍을 뚤어 배음을 다양하게 만들었습니다. 바로크시대에 바하가 작곡한 트럼펫곡이 바로 이런 트럼펫으로 작곡한 곡으로 이 트럼펫은 natural trumpet이라고도 불리고 clarino라고도 불립니다. 그리고 배음을 보강하기 위해 크룩을 만들어 갈아 끼우면서 연주를 했다고 합니다.

현대의 밸브를 갖춘 트럼펫은 하이든 말기 아니면 죽고 나서 개발되었다고 하구요(?). 3개 밸브의 조합으로 7개의 관의 길이를 만들어 낼 수 있어 모든 음계를 커버할 수 있게 되었습니다. 이때 비로서 트럼펫이 솔로 악기로 각광을 받기 시작했구요.

각설하고 위의 공식을 밸브 트럼펫에 적용하면 많은 배음(harmonics)을 얻을 수 있는데
첫번째 배음은 페달톤이어서 실제 연주에는 사용되지 않고 두번째 배음부터 음계에 사용됩니다. 예를 들어
밸브를 안누른 open 상태에서 트럼펫 관의 길이는 대략 140cm 인데
1번 밸브를 누르면 관의 길이가 17.9cm 늘어나고 한음이 낮아지고
2번 밸브를 누르면 관의 길이가 8.6cm 늘어나고 반음이 낮아지며
3번 밸브를 누르면 관의 길이가 27.8cm 늘어나고 한음반이 낮아집니다.

즉 Bb 트럼펫 기준으로 오픈 상태에서 불면 오선지 아래 첫번째줄 아래도 C 음(두번째 배음)이 나고
2번 밸브를 누르면 관의 길이가 8.6cm 늘어나고 반음이 낮아져서 B 음이 나고
1번 밸브를 누르면 관의 길이가 17.9cm 늘어나고 한음이 낮아져서 Bb 음이 나고
1번과 2번 밸브를 동시에 누르면 관의 길이가 26.5cm 늘어나 한음반이 낮아져서 A 음이 납니다.

3번 밸브를 눌러도 관의 길이가 27.8cm 늘어나서 한음반 음이 낮아지고  A 음이 나지만
관의 길이 차이가 약간 나서 피치가 약간 달라지며 아시다시피 약지는 힘이 약하고 둔해서
잘 사용하지 않지요. 그대신 트릴 등 가포지션 A음을 낼때 유용하게 쓰입니다. 같은 원리로 E음을 낼때 1-2번 대신 3번을 눌러도 되지만 약지의 한계로 인해가포지션에만 사용합니다.

2번과 3번 밸브를 동시에 누르면 관의 길이가 36.4cm 늘어나 두음이 낮아져서 Ab 음이  나고
1번과 3번 밸브를 동시에 누르면 관의 길이가 45.7cm 늘어나 두음반이 낮아져서 G 음이  나고
1번, 2번, 3번 밸브를 동시에 누르면 관의 길이가 54.3cm 늘어나 세음이 낮아져서 F# 음이  납니다.

이상이 7개의 관의 길이에 대한 기준음(두번째 배음) 이고 오픈 밸브 관에서 공식을 적용하여 순서대로 나열하면
3(도), 5(솔), 7(도), 9(미), 11(솔), 13(시b), 15(도)의 7개 배음을 얻을 수 있습니다. 더 올라갈 수도 있지만 ㅎㅎ
다들 아시죠 어렵다는거~~ 물론 고수분들은 8개 9개 배음을 사용합니다~~^^
그리고 두번째 2번 밸브를 누른 상태에서 배음은  관의 길이가 8.6cm 늘어나서 배음공식을 적용하면
3(시), 5(파#), 7(시), 9(미b), 11(파#), 13(라), 15(시)의 7개 배음을 얻을 수 있구요
이런 방식으로 7개의 관의 길이에 대한 모든 배음을 구하면 49개가 됩니다.
하지만 모든 배음이 다 사용되지는 않고 그중에서 운지가 쉽고 음정이 정확한 배음만을 골라서
만든것이 현재의 트럼펫 운지 입니다.